第三讲 鸟头模型 文章来源:516棋牌   2020-06-17 17:03

  第三讲 鸟头模型_数学_小学教育_教育专区。2013-2014 学年·秋季五年级知识点总结 第三讲 鸟头模型 在之前的共边比例模型(金字塔模型、沙漏模型)的基础之上,本讲第一次介绍共角比例模型之 一——鸟头模型. 学好共角模型, 将有助于

  2013-2014 学年·秋季五年级知识点总结 第三讲 鸟头模型 在之前的共边比例模型(金字塔模型、沙漏模型)的基础之上,本讲第一次介绍共角比例模型之 一——鸟头模型. 学好共角模型, 将有助于加深对面积与长度之间关系的理解, 并且能为初中将要学习 的三角函数、正弦定理、余弦定理等内容打下基础. 【重要知识点】 ? 鸟头模型:有相等(或互补)的内角的两个三角形,其面积比等于相等(或互补)内角的夹边乘 积之比. 【点评】根据定义也能够看出:在做题时,不要看到边的比例就相乘、作比,而是应该先找角,再找 角的两条夹边,将一个三角形内的夹边的比例份数相乘,再将两个乘积作比. 详细证明见下页例 1 的分析. 同时还可看出:根据定义,鸟头模型只要求两个三角形有相等或互补的内角即可,并不要求 两个三角形的具体位置,于是有了下面几种常见的鸟头模型的具体图案: ? 常见的鸟头模型图案: 相等: 共角 对顶角 平行线 互补: 组成平角 双直角(既相等又互补) 周角减去180度 【点评】 其中最常见的是最左边两个图. 课本第一单元的例 1 就是讨论了共角、 对顶角和组成平角这三 种情况的最简单的鸟头模型;第一单元例 3 就是最后一个图的情况,两矩形有 1 个公共顶点时要 记得考虑这种情况;第一单元超常班例题是双直角情况,进一步可拓展为:若一个四边形的四个 顶点共圆,则其内部对角互补(初中知识,不要求学生掌握). 【扩展阅读】 ? 鸟头模型的本质:若固定一个角,再将这个角的两个夹边的长度固定,易见三角形就随之固定了, 换句话说, 一个内角的度数和它的两个夹边的长度将决定这个三角形的面积. 显然, 将夹边拉得越 长,三角形的面积越大;张角约接近 90 度,三角形的面积越大. 学而思培优北京分校·小学理科教研组出品 1 2013-2014 学年·秋季五年级知识点总结 其本质就是初中将要学习的三角函数的一部分内容: S△ABC ? AB ? AC ? sin ?A ; 【点评】从这条定理可以看出许多有用的规律(当然,这是初中的定理,不要求学生掌握) : ①面积理应是由长度相乘得来; ②由于 sin x ? sin(180o ? x) ,故知两个有互补内角的三角形,其面积比取决于夹边乘积之比. ③由正弦函数的性质,可知张角越接近 90 度,三角形面积越大;越接近 0 度或 180 度,面积越小. 【具体题目和方法】 【第一单元 1】鸟头模型: (1)如左图,三角形 ABC 中,D、E 分别是 AB、AC 上的点, AB ? 2 AD , AC ? 3 AE ;请 问:三角形 ABC 的面积是三角形 ADE 面积的几倍? (2) 如中间图, 三角形 ABC 中, E 是 AC 上的点, D 是 BA 延长线 AD , AC ? 3 AE ; 请问:三角形 ABC 的面积是三角形 ADE 面积的几倍? (3)如右图,三角形 ABC 中,D、E 分别是 BA、CA 延长线 AD , AC ? 3 AE ; 请问:三角形 ABC 的面积是三角形 ADE 面积的几倍? D A E D C E A E B 【答案】6 C B A D B C 【分析】 三道题的证明方法完全相同: 连接 BE, 根据等高模型 故 S△ABE AE 1 S△ADE AD 1 ? ? , ? ? ; 同时 S AC 3 S△ABE AB 2 △ABC S△ADE S△ADE S△ABE AD AE 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? , 即三角形 ABC 的面积是三角形 ADE 面积的 6 倍. S△ABC S△ABE S△ABC AB AC 2 3 6 【点评】把条件中的 2、3 改为 x、y,就将是鸟头模型的一般证明. 从证明过程可以看出,鸟头模型是 使用两次等高模型得来的,进一步地说:共角模型的基础是共边模型. 三道小题的证明方法完全相同,这正是因为鸟头模型的特征是角(相等或互补的角) ,而不是 位置. 这一点在第一单元的例 3 中体现得最为明显. 例 2 对寻找夹边长度给出了相应练习,这一类题目是重要的,在这里提供几道练习题: 学而思培优北京分校·小学理科教研组出品 2 2013-2014 学年·秋季五年级知识点总结 【拓展】以下各个示意图 中均有两个三角形,给出了某些线段的长度,请求出小三角形和大三角形的 ... 面积比. 1 4 2 3 3 1 2 4 7 5 6 8 56 12 34 78 3 1 4 2 3 2 4 6 1 5 8 34 56 7 78 12 1? 2 1? 2 2 1? 2 1? 2 1 5? 6 5? 6 5 ? ? ? ? ; ? ? 【答案】 上 4 题: ; ; (4 ? 1) ? (3 ? 2) 5 ? 5 25 (3 ? 1) ? (4 ? 2) 4 ? 6 12 (5 ? 7) ? (6 ? 8) 12 ? 14 28 12 ? 34 12 ? 34 3 1? 2 1? 2 1 2 ?1 2 ?1 1 ? ? ? ? ; ? ? ; ;下 4 题: (12 ? 56) ? (34 ? 78) 68 ? 112 56 (1 ? 3) ? 4 4 ? 4 8 (2 ? 4) ? 3 6 ? 3 9 6?7 6?7 3 34 ? 12 34 ? 12 34 ? ? ; ? ? (6 ? 8) ? 5 14 ? 5 5 (34 ? 56) ? 78 90 ? 78 585 【点评】注意某些夹边需要将已知线段长度相加;注意在计算时一定要先约后乘. 【第一单元 3】 (2)如图,园林小路由白色正方形石板和红、青两色的三角形石板铺成. 问:内圈 红色三角形石板的总面积大,还是外圈青色三角形石板的总面积大? 【答案】一样大 【分析】本题即为例 3(1)的多次重复;每一个红色三角形,均和与其有公共顶点的青色三角形构成 有互补内角的鸟头模型,其面积相等,故知 S红 ? S青 . 【基础、 提高作业 3】 如图, 已知三角形 ABC 面积为 1, 分别延长 AB、 BC、 CA 至 D、 E、 F, 使 BD ? AB , CE ? BC , AF ? AC ,求三角形 DEF 的面积. F A B D 学而思培优北京分校·小学理科教研组出品 3 1 C E 2013-2014 学年·秋季五年级知识点总结 【答案】7 S△DBE BD BE ? ? ?2, 【分析】 这道题是对应第二单元例 2 的作业. 由鸟头模型, 故 S△BDE ? 2S△ABC ? 2 , S△ABC BA BC 同理可得 S△CEF ? S△AFD ? 2 ,所以 S△DEF ? S△BDE ? S△CEF ? S△AFD ? S△ABC ? 2 ? 2 ? 2 ? 1 ? 7 . 【点评】这道题是多个鸟头的组合形状的问题,单看每一个鸟头时,不要考虑其他的鸟头,甚至可以 将对这个鸟头无用的线段暂时擦去,这种分离图形思想是解组合形状几何题的重要思想. 当然, 本 题有非常良好的旋转对称性质,外围的 3 个三角形地位是平等的,其生成条件的比例关系完全相 同,所以它们的面积一定是相同的. 在第十二讲,将会讲授小学阶段的另一个比例模型:燕尾模型. 把下一题与本题作比较,将能 看出燕尾题型与鸟头题型的区别与联系. DC EA FB 1 ? ? ? , 则三角形 GHI 的面积为 DB EC FA 2 【拓展】 如图,已知三角形 ABC 的面积为 1, ; A E H F I B 【分析】题目条件也是轮换对称的,故可知 S△AHB ? S△BIC ? S△CGA ,下求 S△AHB : G D C 如下图分离图形,只找出对求 S△AHB 有帮助的线段,省略无用线段,再连接辅助线 HC,则图中将 会出现燕尾模型. A E A 1 E 6 H 2 12 H F B D C B D C 设三角形 AHE 的面积为 1 份,则根据等高模型,三角形 CHE 的面积为 2 份,故三角形 AHC 的面 S BD 2 燕尾 ABHC 中, △AHB ? 故三角形 AHB 的面积为 3 ? 2 ? 6 份; 燕尾 ABCH 积为 1 ? 2 ? 3 份; ? , S△AHC DC 1 中, S△AHB AE 1 ? ? , 故 三 角 形 BHC 的 面 积 为 6 ? 2 ? 12 份 ; 所 以 三 角 形 ABC 的 面 积 为 S△BHC EC 2 6 2 2 2 1 ? ;同理, S△BIC ? S△CGA ? S△AHB ? ,故 S△GHI ? 1 ? ? 3 ? . 21 7 7 7 7 3 ? 6 ? 12 ? 21 份, S△AHB ? 1 ? 【点评】两道题目图形非常相像,甚至结论都是 S小 : S大 ? 1: 7 ,但两者还是有很多区别的: 鸟头的线段比例条件往往在图形内部,并且常给出目标三角形的边长倍数或比例; 燕尾的线段比例条件往往在最外围三角形的边长上,并且常不给出目标三角形的边长比例条 件,但图形中常出现三线共点. 学而思培优北京分校·小学理科教研组出品 4


返回
有心意 更有新意
欢迎拨打
  
516棋牌 版权所有